Derivadas

Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos.  Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades. Nos vamos a centrar en este texto simplemente en el cálculo de la derivada de una función y las reglas de derivación existentes para ello, quedándonos por ahora con la idea que hemos mencionado al principio. En temas posteriores las desarrollaremos.

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Definición de derivadas

La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x, en el punto x=a es:

f'\left( a\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}

si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

f'\left( a\right) =\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}

Reglas de derivación

Sean  f(x)  y  g(x)  dos funciones que vamos a denotar por  f  y  g .

Derivada de la suma/resta de dos funciones \left( f\pm g\right) '=f'\pm g'La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones.
Derivada del producto de dos funciones \left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g'La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada.
Derivada del cociente de dos funciones\left( \dfrac {f}{g}\right) ^{'}=\dfrac {f'\cdot g-f\cdot g'}{\left( g\right) ^{2}}La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado.
Derivada del producto de una constante por una función\left( a\cdot f\right) '=a\cdot f'La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar.

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